Ich gehe mal den hermeneutisch-metaphysischen Weg und behaupte: Es war nie in 𝜋 geschrieben, sondern es ist Teil der unausgeschriebenen Fraktion von 𝜋.
Ich will jetzt nicht pingelig sein, aber die Prämisse stimmt nicht. Die Eigenschaft der Irrationalität einer Zahl bedeutet nicht zwangsläufig, dass sie trotz ihrer Unendlichkeit alle möglichen Zahlenfolgen in sich haben muss.
Ich glaube das einfachste Beispiel ist hier folgendes: Stell dir vor, nach der letzten bekannten Nachkommastelle kommen nur noch Folgen der Art: 12122122212222 und so weiter. Also wird für jede Wiederholung eine weitere 2 hinzugefügt. Damit kommen dann zwar unendlich viele Zahlenfolgen vor (12, 122, 1222, 12222 usw), aber eben nicht alle möglichen wie zum Beispiel 123 (natürlich ist 123 bestimmt mal vorher vorgekommen, aber ich meine jetzt vereinfacht der Erklärung halber).
Ne, wenn ich pi nehme und alle Einsen durch Nullen ersetze ist es ja immer noch eine irrationale Zahl*, enthält aber (offensichtlich) nicht alle möglichen Zahlenfolgen.
Aber trotzdem ne faire Frage, verstehe nicht warum das runtergewählt wurde.
*Ich weiß nicht, ob das zwingend mit Einsen geht, aber falls das nicht geht kann ich alle Ziffern die nicht eins sind durch Null ersetzen und das muss dan irrational sein. (Bew. per Wiederspruch: )
Ansonsten könnte ich ja die beiden so erhaltenen Zahlen (wo ich die einsen und nicht-einsen ersetzt habe) nehmen und annehmen dass sie rational wären, dann wäre aber ihre Summe (also π) rational.
Nur weil eine Zahl unendlich lang ist, heißt das noch nicht, dass sie irrational ist. Siehe 1/3. Durch das Verändern von Pi nach deiner Vorschrift folgt nicht, dass die so erstellte Zahl irrational ist. Oder übersehe ich etwas?
Ne, aber warum sie irrational ist argue ich ja in dem *. (Strengenommen argue ich, dass entweder alle einsen in pi ersetzten, oder alle nicht-einsen ersetzen eine irrationale Zahl erzeugt.)
In anderen Worten: (alles in Base 10)
Sei a die Zahl die ich erhalte, wenn ich in π alle Ziffern, die Eins sind durch Null ersetzte und b die Zahl, die ich erhalte, wenn ich in π alle Ziffern außer der Eins.
Dann ist mindestens eine der Zahlen irrational.
Beweis:
Wenn a irrational ist, sind wir fertig, im folgenden nehmen wir also an, dass a rational ist.
Nun zeigen wir per wiederspruch, dass b irrational ist:
Angenommen b ist rational. Dann ist a+b rational (da a per Annahme a rational ist).
Da aber a+b=π ist wäre dann auch pi rational, was ein Wiederspruch ist. Also muss b irrational sein.
Ah, danke. Der Unterschied ist dann, dass Normale Zahlen unendliche und alle Zahlenfolgen beinhaltende Nachkommastellen haben, und Irrationale nur unendlich und nicht alle Zahlenfolgen enthaltend sind?
Mein Gedanke war, ob nicht auch sqrt(2) eine Normale Zahl wäre, davon ausgehend, dass Pi eine ist (laut Wikipedia muss das aber auch nicht sein). Ist eine Normale Zahl dann quasi nach Affen-Schreibmaschinen-Prinzip vergleichbar mit einer komplett zufälligen unendlichen Zahlenfolge? Wäre da nicht auch möglich, dass sie nie alle Zahlenfolgen enthält, egal wie lang? Mir erschließt sich nicht, was die Voraussetzung der Generation einer Normalen Zahl ist.
(Wer war da für die Benennung zuständig, das finde ich gar nicht normal...)
Naja, so wie ich das verstehe sind irrationale Zahlen nicht zwingend normal, können es aber sein (ich vermute auch, dass alle rationalen Zahlen nicht normal sein können). Dein erster Absatz impliziert für mich, dass das zwei disjunkte Mengen sind.
Außerdem sind normale Zahlen (bzw. Folgen über einem Alphabet) so wie ich den Wikipedia-Artikel, der auch hier in den Kommentaren verlinkt ist, verstehe, nicht nur darüber definiert, dass jede Folge von Zahlen vorkommt, sondern auch, dass sie im Grenzwert alle (normiert auf die Länge) gleichwahrscheinlich sind.
Und das ist eine sehr wichtige Unterscheidung! Nur weil eine Zahl irrational oder sogar transzendent ist heißt nicht, dass diese auch normal ist. Ein gutes Gegenbeispiel ist die Liouville Konstante: Diese ist zwar transzendent, ihre Dezimalrepräsentation besteht jedoch nur aus den Ziffern 0 und 1. Also kann jede Zahl, die dezimal eine Ziffer enthält, die nicht 0 oder 1 ist, nicht in der Liouville Konstante enthalten sein.
