Meiner Erfahrung nach ist das absolut üblich eine Privatrechnung zu erhalten, wenn man selbstverschuldet nicht (pünktlich) zum Termin erscheint. Und ja, auch mit kaputtem Bein wäre es deine Verantwortung gewesen frühzeitig los zu gehen und Puffer einzuplanen.
Kulanz habe ich bisher immer erfahren, wenn ich mich morgens telefonisch gemeldet habe und ich krank war. Aber wenn ich durch Stau o.ä. nicht rechtzeitig erscheinen konnte, gab es eine Privatrechnung, die aber nur eine geringe Ausfallpauschale enthielt.
Ob es rechtens ist oder nicht weiß ich nicht, aber üblich ist es.